ニューラルネットワークとディープラーニング
-
- ニューラルネットワーク ··· 脳がニューロンとそのネットーワークで情報処理する構造を模した人工知能分野のアルゴリズムの一つ
- ディープラーニング ··· （深い）階層構造をモデル化したニューラルネットーワークのこと
- り訂正学習法 ··· パラメータ\((w_1,w_2,\theta)\)の組み合わせである入力を試し、出力が間違っていたらパラメータを修正することで徐々に正しい状態に近づけていく方法。この修正の過程こそネットワークの”学習”
単純パーセプトロンの実装
どんなものか
参考一番簡単な単純パーセプトロンについて
参考ニューラルネットワークを用いた手書き文字認識
パーセプトロンは入力にニューロンが発火すべきかどうかを判別し0 or 1を出力する。よって、単純な分類器として利用できる。
定式化
パーセプトロンの出力をyとすると、表す式は
$$y=\begin{cases}1(w_1x_1+w_2x_2+ \cdots w_nx_n\text{≧} \theta)\\0(w_1x_1+w_2x_2+\cdots w_nx_n<\theta)\end{cases}$$
ステップ関数
$$f(x)=\begin{cases}1(x \text{≧} 0)\\0(x<0)\end{cases}$$
ステップ関数を使うと出力yは
$$y = f(w_1x_1+w_2x_2+ \cdots w_nx_n-\theta)$$
数式を和で表すために\(-\theta = b\)とし、ベクトルで表すと出力は、
$$
\vec{x}=\boldsymbol{x}=
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right),
\vec{w}=\boldsymbol{w}=
\left(
\begin{array}{c}
w_1 \\
w_2 \\
\vdots \\
w_n
\end{array}
\right)
$$
$$y=f(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}+b)$$
という形にまとまる。
ニューロンの出力がこの式の形で表されるモデルをパーセプトロンといい、入力がすぐ出力に伝播（入力層と出力層しかない）するもっとも単純な形式を単純パーセプトロンという。
また、重み\(\boldsymbol{w}\)と閾値（バイアス）\(b\)を、k+1回目の学習で更新する時の更新式（誤り訂正学習法の更新式）は、正解の値を\(t\)とすると以下のようになる。
$$
\Delta\boldsymbol{w} = (y-t)\boldsymbol{x} \\
\Delta b = (y-t)
$$
$$
\boldsymbol{w}^{(k+1)} = \boldsymbol{w}^{(k)}-\Delta\boldsymbol{w} \\
b^{(k+1)}= b^{(k)}-\Delta b
$$
実装
本書のgithubで公開されているコードをcolaboratoryで実装し、自分の理解促進のために注釈やデバッグログをつけたもの。
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 |
# -*- coding: utf-8 -*- """SimplePerceptron.ipynb Automatically generated by Colaboratory. Original file is located at https://colab.research.google.com/drive/1HDIiq6-zzxKv4jbQEMEVBT1r5uUv9oB0 """ import numpy as np """単純パーセプトロンのモデルをクラスとして定義""" class SimplePerceptron(object): ''' 単純パーセプトロン ''' def __init__(self, input_dim): self.input_dim = input_dim # 重みwを正規分布に従う乱数で初期化 self.w = np.random.normal(size=(input_dim,)) self.b = 0. # yを出力する関数 def forward(self, x): # 別で定義したstep()関数にパーセプトロンの出力式x^T*x+bを与えて0 or 1を判定 y = step(np.matmul(self.w, x) + self.b) return y # 誤差を計算する関数 def compute_deltas(self, x, t): # パーセプトロンの出力yをforward関数で取得 y = self.forward(x) # 定式化の欄に記載した式に従いそれぞれの誤差計算 delta = y - t dw = delta * x db = delta return dw, db # 引数xが０より大きいかどうかで1 or 0を返す関数。(x>0)の部分はBOOL型なので、true=1, false=0。よって、x > 0を満たす場合はtrue def step(x): return 1 * (x > 0) """1. データの準備。トレーニング用のあらかじめ正解がわかっているデータの準備""" d = 2 # 入力次元 N = 20 # データ（標本）数 mean = 5 # np.random.randn()は平均0,標準偏差1の乱数を返す # 第１引数にN//2で10個, 第２引数d=2（次元数）で2次元の列ベクトルを10個（10行）生成している # さらにmean=5分加算されることで正規分布の平均がmean分ずれる（＝平均5の正規分布に従う乱数が10個生成される） x1 = np.random.randn(N//2, d) + np.array([0, 0]) # ニューロンが発火しないデータは平均が0 x2 = np.random.randn(N//2, d) + np.array([mean, mean]) # ニューロンが発火するデータは平均が5 t1 = np.zeros(N//2) #x1に対応する出力t1=0 t2 = np.ones(N//2) #x2に対応する出力t2=1 x = np.concatenate((x1, x2), axis=0) # 入力データ t = np.concatenate((t1, t2)) # 出力データ """2. モデルの構築""" model = SimplePerceptron(input_dim=d) """3. モデルの学習""" def compute_loss(dw, db): return all(dw == 0) * (db == 0) # all()はすべての要素がTrueであればTrueを返す。すなわち、重みとバイアスの誤差ΔwとΔbが共に0になったらTrueを返す def train_step(x, t): dw, db = model.compute_deltas(x, t) loss = compute_loss(dw, db) # 計算されたΔw, Δbで重みとバイアスを更新 model.w = model.w - dw model.b = model.b - db print('dw:', dw) # 学習過程の出力 print('db:', db) # 学習過程の出力 print('loss:', loss) # 学習過程の出力 print('w:', model.w) # 学習過程の出力 print('b:', model.b) # 学習過程の出力 return loss count = 0 while True: classified = True count += 1 print(count, '回目の学習') # 学習過程の出力 for i in range(N): # １回の学習でデータの個数N=20個分計算を行う loss = train_step(x[i], t[i]) # 全結合した入力x[i]とその正解値t[i]を学習のパラメタとして渡す classified *= loss # lossはΔw, Δbともに0の時にTrueとなるため、classfiedは誤差が０の時にTrueとなる if classified: #classfiedがTrue=誤差０となったらwhile脱出（＝学習終了） break """4. モデルの評価""" print('w:', model.w) # => w: [1.660725 1.49465147] print('b:', model.b) # => b: -10.0 print('(0, 0) =>', model.forward([0,0])) # => 0 print('(5, 5) =>', model.forward([5, 5])) # => 1 |
学習家庭の出力例。
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 |
1 回目の学習 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.72925372 -0.09316359] b: 0.0 dw: [-0.30355969 0.81368986] db: 1.0 loss: False w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [-1.42569403 -0.90685345] b: -1.0 dw: [-1.69426396 -0.84084405] db: 1.0 loss: False w: [ 0.26856993 -0.0660094 ] b: -2.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [ 0.26856993 -0.0660094 ] b: -2.0 dw: [-4.61167723 -5.2131977 ] db: -1.0 loss: False w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 2 回目の学習 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [4.88024717 5.14718831] b: -1.0 dw: [-0.30355969 0.81368986] db: 1.0 loss: False w: [5.18380686 4.33349845] b: -2.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [5.18380686 4.33349845] b: -2.0 dw: [1.09454489 0.165142 ] db: 1.0 loss: False w: [4.08926197 4.16835645] b: -3.0 dw: [0.79949496 0.57634586] db: 1.0 loss: False w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 3 回目の学習 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [-0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [3.28976701 3.59201058] b: -4.0 dw: [1.09454489 0.165142 ] db: 1.0 loss: False w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 4 回目の学習 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [ 0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [-0. -0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 dw: [0. 0.] db: 0.0 loss: True w: [2.19522212 3.42686858] b: -5.0 |
